a) Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm $x_0\in (a;b)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì gới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$, kí hiệu bởi $f^{\prime }\left(x_0\right)$ (hoặc $y^{\prime }\left(x_0\right)$, tức là $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

b) Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).

c) Các công thức đạo hàm

Giả sử $f=f\left(x\right)$, $g=g\left(x\right)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$;

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$;

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$;

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ $(g=g(x)\ne 0)$.

d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $P\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là đường thẳng đi qua P với hệ số góc $k=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là $k=f^{\prime }\left(x_0\right)$. Điểm P gọi là tiếp điểm.

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left(x_0;y_0\right)$ là $y-y_0=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$, trong đó $y_0=f\left(x_0\right)$.

e) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=s\left(t\right)$, với $s=s\left(t\right)$ là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$ là đạo hàm của hàm số $s=s\left(t\right)$ tại $t_0$:

$v\left(t_0\right)=s^{\prime }\left(t_0\right)$.

Cường độ tức thời

Nếu điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: $Q=Q\left(t\right)$ ($Q=Q\left(t\right)$ là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm $t_0$ là đạo hàm của hàm số $Q=Q\left(t\right)$ tại $t_0$:

$I\left(t_0\right)=Q^{\prime }\left(t_0\right)$.

f) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

1) Giả sử chi phí $C$ (USD) để sản xuất $Q$ máy vô tuyến là $C\left(Q\right)=Q^2+80Q+3500$.

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q+1$ sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số $C^{\prime }\left(Q\right)$. Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm $C^{\prime }\left(90\right)$ và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.

c) Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100.

Giải:

a) Chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ $Q$ sản phẩm lên $Q+1$ sản phẩm. Chi phí biên được xác định bởi hàm số $C^{\prime }\left(Q\right)$.

$\Rightarrow C^{\prime }\left(Q\right)=\underset{Q\to Q+1}{lim}\frac{\left(Q^2+80Q+3500\right)-\left({(Q+1)}^2+80\left(Q+1\right)+3500\right)}{Q-Q-1}$

$C^{\prime }\left(Q\right)=\underset{Q\to Q+1}{lim}\frac{\left(Q^2+80Q+3500\right)-\left(Q^2+2Q+1+80Q+80+3500\right)}{-1}$

$C^{\prime }\left(Q\right)=\underset{Q\to Q+1}{lim}\left(2Q+80\right)$.

b) $C^{\prime }\left(90\right)=2.90+80=260$ (USD).

Ý nghĩa: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là 260 (USD).

c) Chi phí sản xuất 101 máy vô tuyến là:

$C\left(101\right)={101}^2+80.101+3500=21781$ (USD).

Chi phí sản xuất 100 máy vô tuyến là:

$C\left(100\right)={100}^2+80.100+3500=21500$ (USD).

Chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100 là:

$C\left(101\right)-C\left(100\right)=281$ (USD).

2) Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s\left(t\right)=4t^3+6t+2$, trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại $t=2$.

Giải:

Vận tốc tức thời của chuyển động là: $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)=12t^2+6$.

Khi $t=2$, $v\left(2\right)={12.2}^2+6=54$.

3) Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức $h\left(t\right)=0,81t^2$, với $t$ được tính bằng giây và $h$ tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm $t=2$.

Giải:

Vận tốc tức thời của vật là: $v\left(t\right)=h^{\prime }\left(t\right)=1,62t$.

Tại thời điểm $t=2$thì $v\left(2\right)=1,62.2=3,24$.

4) Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19, 6 m/s thì độ cao $h$ của nó (tính bằng m) sau $t$ giây được cho bởi công thức $h=19,6t-4,9t^2$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Giải:

Tại thời điểm mà vật đạt độ cao bằng 0, ta có: $0=19,6t-4,9t^2\iff 0=t(19,6-4,9t)\iff [\begin{array}{c}t=0\\ t=4\end{array}$

Khi $t=4$ (thời điểm vật chạm đất), ta có: $19,6-9,8\left(4\right)=-19,6$.

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s.