Đạo hàm f’(a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y = f(x) đối với x tại điểm x = a. Ta xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lý, hoá học và kinh tế.

Ví dụ minh hoạ:

1) Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = \frac{1}{3}{t^3} + 18{t^2} - 35t + 10\), trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Trong 40 giây đầu tiên, chất điểm đó có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian (a;b). Tính giá trị biểu thức P = a + 9b.

Giải:

1) \(v(t) = s'(t) = - {t^2} + 36t - 35\).

\(v'(t) = - 2t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 18\).

Từ bảng biến thiên, ta thấy trong khoảng (18;40) giây, vận tốc tức thời của chất điểm giảm.

P = 18 + 9.40 = 378.

2) Giả sử số lượng của một quần thể nấm X tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \(P(t) = 120{e^{0,15t}}\), trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm X là bao nhiêu (đơn vị: tế bào/giờ)?

Giải:

Hàm tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm là \(P'(t) = 120.0,15.{e^{0,15t}} = 18.{e^{0,15t}}\) (tế bào/giờ).

Tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm ở thời điểm t = 0 là \(P'(0) = 18.{e^{0,15.0}} = 18.{e^0} = 18\) (tế bào/giờ).

Bước 1: Đặt ẩn, lập phương trình biểu diễn đại lượng cần tính giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu đề bài chưa cho sẵn).

Bước 2: Tính đạo hàm. Lập bảng biến thiên và kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

1) Một tập chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tập chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ...) được cho bởi công thức \(C(x) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 10000\), C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Giả sử T(x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí. Tỉ số \(M(x) = \frac{{T(x)}}{x}\) được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất.

Giải:

Tổng chi phí cho x cuốn tạp chí là \(T(x) = C(x) + 0,4x = 0,0001{x^2} + 0,2x + 10000\).

Ta có \(M(x) = \frac{{T(x)}}{x} = \frac{{0,0001{x^2} + 0,2x + 10000}}{x} = 0,0001x + \frac{{10000}}{x} + 0,2\), với \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

\(M'(x) = 0,0001 - \frac{{10000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10000\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình cho x cuốn tạp chí thấp nhất khi x = 10000 (cuốn).

2) Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và thể tích là 4000 \(c{m^3}\). Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Giải:

Thể tích của hộp là \(V = {x^2}h = 4000\) (\(c{m^3}\)).

Suy ra chiều cao của hộp là \(h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}\) (cm).

Diện tích xung quanh của hộp là \(S(x) = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x\frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x}\) (\(c{m^2}\)).

Chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất khi diện tích xung quanh hình hộp nhỏ nhất.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của S(x).

Ta có \(S'(x) = 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{16000}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 2{x^3} = 16000 \Leftrightarrow {x^3} = 8000 \Leftrightarrow x = 20\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để tốn ít bìa nhất thì cạnh hình vuông có chiều dài x = 20 (cm).