Đạo hàm f’(a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y = f(x) đối với x tại điểm x = a. Ta xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lý, hoá học và kinh tế.

Ví dụ minh hoạ:

1) Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = \frac{1}{3}{t^3} + 18{t^2} - 35t + 10\), trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Trong 40 giây đầu tiên, chất điểm đó có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian (a;b). Tính giá trị biểu thức P = a + 9b.

Giải:

1) \(v(t) = s'(t) = - {t^2} + 36t - 35\).

\(v'(t) = - 2t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 18\).

Từ bảng biến thiên, ta thấy trong khoảng (18;40) giây, vận tốc tức thời của chất điểm giảm.

P = 18 + 9.40 = 378.

2) Giả sử số lượng của một quần thể nấm X tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \(P(t) = 120{e^{0,15t}}\), trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm X là bao nhiêu (đơn vị: tế bào/giờ)?

Giải:

Hàm tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm là \(P'(t) = 120.0,15.{e^{0,15t}} = 18.{e^{0,15t}}\) (tế bào/giờ).

Tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm ở thời điểm t = 0 là \(P'(0) = 18.{e^{0,15.0}} = 18.{e^0} = 18\) (tế bào/giờ).