Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta =b^2–4ac$.

- Nếu $\Delta <0$ thì $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

- Nếu $\Delta =0$ thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$. Khi đó $f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$.

- Nếu $\Delta >0$, $f\left(x\right)$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2(x_1<x_2)$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$ và luôn trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in (x_1;x_2)$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Giải các bất phương trình sau:

a) $3x^2+x+5\le 0$;

b) $-3x^2+2\sqrt{3}x-1\ge 0$;

c) $-x^2+2x+1>0$.

Giải:

a) Tam thức $f\left(x\right)=3x^2+x+5$ có $\Delta =-59<0$, hệ số $a=3>0$ nên $f\left(x\right)$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi $x$, tức là $3x^2+x+5>0$ với mọi $x\in R$. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức $f\left(x\right)=-3x^2+2\sqrt{3}x-1$ có ${\Delta }^{\prime }=0$, hệ số $a=-3<0$ nên $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $f\left(x\right)$ luôn âm (cùng dấu với a) với mọi $x\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$, tức là $-3x^2+2\sqrt{3}x-1<0$ với mọi $x\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

c) Tam thức $f\left(x\right)=-x^2+2x+1$ có ${\Delta }^{\prime }=2>0$ nên $f\left(x\right)$ có hai nghiệm $x_1=1-\sqrt{2}$ và $x_2=1+\sqrt{2}$.

Mặt khác $a=-1<0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S=(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$.

2) Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2-5x+2>0$;

b) $-x^2-2x+8>0$.

Giải:

a) Tam thức bậc hai $2x^2-5x+2$ có hai nghiệm $x_1=\frac{1}{2},x_2=2$ và có hệ số $a=2>0$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $2x^2-5x+2$ mang dấu “+” là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup (2;+\infty )$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x^2-5x+2>0$ là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup (2;+\infty )$.

b) Tam thức bậc hai $-x^2-2x+8$ có hai nghiệm $x_1=-4,x_2=2$ và có hệ số $a=-1<0$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $-x^2-2x+8$ mang dấu “+” là $(-4;2)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-x^2-2x+8>0$ là $(-4;2)$.

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c>0$ là tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol $y=a{x}^2+bx+c$ nằm phía trên trục hoành.

- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c<0$ là tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol $y=a{x}^2+bx+c$ nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng $f\left(x\right)>0$ ($f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol $y=a{x}^2+bx+c$, ta tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối với các bất phương trình bậc hai có dạng $f\left(x\right)<0$, $f\left(x\right)\ge 0$, $f\left(x\right)\le 0$, ta cũng làm tương tự.

Ví dụ minh hoạ:

Quan sát đồ thị ở hình vẽ và giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^2-5x+4<0$.

b) $-x^2+3x>0$.

Giải:

a) Quan sát đồ thị, ta thấy: $x^2-5x+4<0$ biểu diễn phần parabol $y=x^2-5x+4$ nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với $1<x<4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+4<0$ là khoảng (1; 4).

b) Quan sát đồ thị, ta thấy: $-x^2+3x>0$ biểu diễn phần parabol $y=-x^2+3x$ nằm phía trên trục hoành, tương ứng với $0<x<3$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-x^2+3x>0$ là khoảng (0; 3).