Tìm m thoả mãn điều kiện xác định của một số biểu thức:

+) $\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định khi $f\left(x\right)\ge 0$;

+) $\frac{1}{f\left(x\right)}$ xác định khi $f\left(x\right)\ne 0$;

+) $\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}$ xác định khi $f\left(x\right)>0$.

Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là R (hay luôn xác định trên R):

a) $y=f\left(x\right)=\frac{3x+1}{x^2+2(m-1)x+m^2+3m+5}$;

b) $y=f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2(m-1)x+m^2+m-6}$;

c) $y=f\left(x\right)=\frac{3x+5}{x^2-2(m+3)x+m+9}$.

Giải:

a) Hàm số f(x) luôn xác định trên R $\iff x^2+2(m-1)x+m^2+3m+5\ne 0;\forall x$

$\iff {\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2+3m+5)<0$

$\iff -5m-4<0$

$\iff m>-\frac{4}{5}$.

Vậy m > $-\frac{4}{5}$.

b) Hàm số f(x) luôn xác định trên R

$\iff x^2+2(m-1)x+m^2+m-6\ge 0$ $\forall x$

$\iff {\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2+m-6)\le 0$

$\iff -3m+7\le 0$

$\Rightarrow m\ge \frac{7}{3}$.

Vậy m $\ge \frac{7}{3}$.

c) Hàm số f(x) luôn xác định trên R $x^2-2(m+3)x+m+9>0;\forall x$

$\iff {\Delta }^{\prime }=(m+3{)}^2-(m+9)<0$

$\iff m^2+5m<0\Rightarrow -5<m<0$ Vậy - 5 < m < 0.