Tìm m thoả mãn điều kiện xác định của một số biểu thức:

+) \(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\);

+) \(\frac{1}{{f(x)}}\) xác định khi \(f(x) \ne 0\);

+) \(\frac{1}{{\sqrt {f(x)} }}\) xác định khi \(f(x) > 0\).

Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là R (hay luôn xác định trên R):

a) \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + 3m + 5}}\);

b) \(y = f(x) = \sqrt {{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + m - 6} \);

c) \(y = f(x) = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9}}\).

Giải:

a) Hàm số f(x) luôn xác định trên R \( \Leftrightarrow {x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + 3m + 5 \ne 0;\forall x\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m - 1)^2} - ({m^2} + 3m + 5) < 0\)

\( \Leftrightarrow  - 5m - 4 < 0\)

\( \Leftrightarrow m >  - \frac{4}{5}\).

Vậy m > \( - \frac{4}{5}\).

b) Hàm số f(x) luôn xác định trên R

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + m - 6 \ge 0\) \(\forall x\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m - 1)^2} - ({m^2} + m - 6) \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - 3m + 7 \le 0\)

\( \Rightarrow m \ge \frac{7}{3}\).

Vậy m \( \ge \frac{7}{3}\).

c) Hàm số f(x) luôn xác định trên R \({x^2} - 2(m + 3)x + m + 9 > 0;\forall x\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 3)^2} - (m + 9) < 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m < 0 \Rightarrow  - 5 < m < 0\) Vậy - 5 < m < 0.