Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

\(a{x^2} + bx + c = 0\),

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).

Để giải phương trình bậc hai dạng \(a{x^2} + bx = 0\), ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích.

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx = 0\\x\left( {ax + b} \right) = 0\end{array}\)

\(x = 0\) hoặc \(ax + b = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x =  - \frac{b}{a}\).

Ví dụ: Giải phương trình \(2{x^2} - 4x = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{x^2} - 4x = 0\\2x\left( {x - 2} \right) = 0\end{array}\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0,{x_2} = 2\).

Để giải phương trình bậc hai dạng \(a{x^2} + c = 0\), ta sử dụng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương:

\(\begin{array}{l}a{x^2} + c = 0\\{x^2} =  - \frac{c}{a}\end{array}\)

+) Với \( - \frac{c}{a} < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Với \( - \frac{c}{a} = 0\) thì \(x = 0\).

+) Với \( - \frac{c}{a} > 0\) thì \(x = \sqrt { - \frac{c}{a}} \) hoặc \(x =  - \sqrt { - \frac{c}{a}} \).

Ví dụ: 1. Giải phương trình \({x^2} - 9 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\{x^2} = 9\end{array}\)

\(x = 3\) hoặc \(x =  - 3\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 3,{x_2} =  - 3\).

2. Giải phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3\)

Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3\)

\(x + 1 = \sqrt 3 \) hoặc \(x + 1 =  - \sqrt 3 \)

\(x =  - 1 + \sqrt 3 \) hoặc \(x =  - 1 - \sqrt 3 \)

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} =  - 1 + \sqrt 3 ,{x_2} =  - 1 - \sqrt 3 \).

Để giải phương trình bậc hai dạng \({x^2} + bx = c\), ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó ta có thể giải phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình \({x^2} - 4x = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x = 5\\{x^2} - 4x + 4 = 5 + 4\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 9\end{array}\)

\(x - 2 = 3\) hoặc \(x - 2 =  - 3\)

suy ra \(x = 5\) hoặc \(x =  - 1\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 5,{x_2} =  - 1\).