Cách giải phương trình chứa căn - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Dấu của tam thức bậc hai - Từ điển môn Toán 10

Cách giải phương trình chứa căn - Toán 10

Cách giải phương trình chứa căn, phương trình đưa về phương trình bậc hai

Nội dung chính

1. Phương trình dạng căn A(x) = căn B(x)

2. Phương trình dạng căn A(x) = B(x)

3. Bài tập vận dụng

1. Phương trình dạng căn A(x) = căn B(x)

Để giải phương trình $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = \sqrt{d x^{2} + e x + f}$ , ta thực hiện như sau:

- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.

- Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho không và kết luận nghiệm.

Ví dụ minh hoạ:

1) Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 4 x - 2} = \sqrt{x^{2} - x - 2}$ .

Giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được $2 x^{2} - 4 - 2 = x^{2} - x - 2$ .

Sau khi thu gọn, ta được $x^{2} - 3 x = 0$ . Từ đó tìm được x = 0 hoặc x = 3.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta chỉ thấy có x = 3 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.

2) Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 6 x - 8} = \sqrt{x^{2} - 5 x - 2}$ .

Giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$2 x^{2} - 6 x - 8 = x^{2} - 5 x - 2$

$\Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$

$\Rightarrow x = - 2$ hoặc $x = 3$ .

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = - 2$ thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - 2$ .

3) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 6 x - 4} = \sqrt{x - 4}$ .

Giải:

Bình phương hai vế của (1) ta được $x^{2} - 6 x - 4 = x - 4$ (2)

Ta có: $(2) \Leftrightarrow x^{2} - 7 x = 0$ .

Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = 7$ .

Thay lần lượt hai giá trị trên vào bất phương trình $x - 4 \geq 0$ , ta thấy chỉ có $x = 7$ thoả mãn bất phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình (1) là $x = 7$ .

2. Phương trình dạng căn A(x) = B(x)

Để giải phương trình $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = d x + e$ , ta thực hiện như sau:

- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.

- Thứ lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho không và kết luận nghiệm.

Ví dụ minh hoạ:

1) Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 5 x - 9} = x - 1$ .

Giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được $2 x^{2} - 5 x - 9 = x^{2} - 2 x + 1$ .

Sau khi thu gọn, ta được $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ . Từ đó tìm được x = -2 hoặc x = 5.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta chỉ thấy có x = 5 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5.

2) Giải phương trình $\sqrt{3 x^{2} + 5 x - 13} = x + 1$ .

Giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$3 x^{2} + 5 x - 13 = (x + 1)^{2}$

$\Rightarrow 3 x^{2} + 5 x - 13 = x^{2} + 2 x + 1$

$\Rightarrow 2 x^{2} + 3 x - 14 = 0$

$\Rightarrow x = - \frac{7}{2}$ hoặc $x = 2$ .

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 2$ thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 2$ .

3) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6} = 2 x - 1$ (5)

Giải:

Trước hết ta giải bất phương trình $2 x - 1 \geq 0$ (6)

Ta có: (6) $\Leftrightarrow 2 x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$ .

Bình phương hai vế của (5) ta được $x^{2} - 6 x + 6 = (2 x - 1)^{2}$ (7)

Ta có: (7) $\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 6 = 4 x^{2} - 4 x + 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Do đó, phương trình (7) có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = \frac{- 5}{3}$ .

Trong hai giá trị trên, chỉ có giá trị $x = 1$ là thoả mãn $x \geq \frac{1}{2}$ . Vậy phương trình (5) có nghiệm là $x = 1$ .

3. Bài tập vận dụng

00:00 Đã làm 0/4 câu

Luyện tập

Câu 1 Nhận biết

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = \sqrt{2 - x}$ là:

Gợi ý Câu hỏi tiếp theo

Báo lỗi