$a\left(\sin x\pm \cos x\right)+b\sin x\cos x+c=0$.

Đặt $t=\sin x\pm \cos x=\sqrt{2}\sin \left(x\pm \frac{\pi }{4}\right)\Rightarrow -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$.

Lại có $t^2=1\pm 2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$ hoặc $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$.

Thay vào phương trình, ta dễ dàng tìm được t, suy ra $\sin \left(x\pm \frac{\pi }{4}\right)=\frac{t}{\sqrt{2}}\Rightarrow x$.

Giải phương trình:

a) $\sin x+\cos x-2\sin x\cos x+1=0$;

b) $1+\tan x=2\sqrt{2}\sin x$.

Giải:

a) Đặt $\sin x+\cos x=t$, $\left|t\right|\le \sqrt{2}$, suy ra $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$.

Khi đó, phương trình có dạng $t-\left(t^2-1\right)+1=0$

$\iff t^2-t-2=0\iff [\begin{array}{c}t=-1\\ t=2\end{array}$ (loại t = 2)

$\iff \sin x+\cos x=-1\iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}$ $\left(k\in Z\right)$.

b) Điều kiện: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ $\left(k\in Z\right)$.

$1+\tan x=2\sqrt{2}\sin x\iff 1+\frac{\sin x}{\cos x}=2\sqrt{2}\sin x$

$\iff \sin x+\cos x=2\sqrt{2}\sin x\cos x$.

Đặt $\sin x+\cos x=t$, $\left|t\right|\le \sqrt{2}$, suy ra $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$.

Khi đó, phương trình có dạng $t=\sqrt{2}\left(t^2-1\right)\iff \sqrt{2}{t}^2-t-\sqrt{2}=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ t=\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{c}\sin x+\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{c}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$ $\left(k\in Z\right)$.