Cách giải phương trình lượng giác thuần nhất sinkx và coskx - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Phương trình lượng giác - Từ điển môn Toán 11

Cách giải phương trình lượng giác thuần nhất sinkx và coskx - Toán 11

Cách giải phương trình lượng giác thuần nhất sinkx và coskx

Nội dung chính

1. Dạng phương trình thuần nhất sinkx và coskx

2. Phương pháp giải phương trình thuần nhất sinkx và coskx

3. Ví dụ minh hoạ giải phương trình lượng giác thuần nhất sinkx và coskx

1. Dạng phương trình thuần nhất sinkx và coskx

$a sin (k x) + b cos (k x) = c$ .

2. Phương pháp giải phương trình thuần nhất sinkx và coskx

Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , ta được:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin (k x) + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos (k x) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Do ${(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})}^{2} = 1$ nên ta đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = cos α$ , khi đó $\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = sin α$ .

Phương trình đã cho trở thành:

$cos α sin (k x) + sin α cos (k x) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \Leftrightarrow sin (x + α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Từ đây, ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Điều kiện có nghiệm: $∣ ∣ \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} ∣ ∣ \leq 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ .

3. Ví dụ minh hoạ giải phương trình lượng giác thuần nhất sinkx và coskx

Giải các phương trình sau:

a) $cos x + \sqrt{3} sin x = \sqrt{2}$ ;

b) $sin x + cos x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Giải:

a) $cos x + \sqrt{3} sin x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{7 π}{12} + k 2 π x = \frac{π}{12} + k 2 π \end{matrix}$ $(k \in Z)$ .

b) $sin x + cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - \frac{π}{4} = \frac{π}{6} + k 2 π x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{5 π}{12} + k 2 π x = \frac{π}{12} + k 2 π \end{matrix}$ $(k \in Z)$ .