Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với a > b > 0. Ta cần tìm a, b để thay vào phương trình trên bằng cách suy ra từ dữ kiện của đề bài:

- Elip cắt Ox tại hai điểm $A_1(-a;0)$, $A_2(a;0)$ và cắt Oy tại hai điểm $B_1(0;-b)$, $B_2(0;b)$.

- Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là 2b.

- Tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{a^2-b^2};0)$, $F_2(\sqrt{a^2-b^2};0)$.

- Tiêu cự là $2c=2\sqrt{a^2-b^2}$.

- Với điểm M nằm trên đường hypebol, ta có $\left|M{F}_1+M{F}_2\right|=2a$.

- Elip đi qua điểm $M(x_0;y_0)$ thì $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$.

1) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài hai trục lần lượt là 26 và 10.

Giải:

Ta có: $2a=26$, $2b=10$, suy ra $a=13$, $b=5$.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

2) Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 20 và tiêu cự bằng 12.

Giải:

Ta có: $2a=20$, $2c=12$, suy ra $a=10$, $c=6$ và $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

3) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$ và đi qua điểm $M(0;3)$.

Giải:

Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$.

Do $F_2(5;0)$ là một tiêu điểm của (E) nên $c=5$. Điểm $M(0;3)$ nằm trên (E) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1$. Do đó $b^2=9$, suy ra $a^2=b^2+c^2=9+25=34$.

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{9}=1$.