Cách lập phương trình chính tắc của hypebol - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Ba đường conic - Từ điển môn Toán 10

Cách lập phương trình chính tắc của hypebol - Toán 10

Cách lập phương trình chính tắc của hypebol

Nội dung chính

1. Phương pháp lập phương trình chính tắc của hypebol

2. Ví dụ minh hoạ lập phương trình chính tắc của hypebol

1. Phương pháp lập phương trình chính tắc của hypebol

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với a > b > 0. Ta cần tìm a, b để thay vào phương trình trên bằng cách suy ra từ dữ kiện của đề bài:

- Hai tiêu điểm là $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ với $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

- Tiêu cự: $2 c$ .

- Với điểm M nằm trên đường hypebol, ta có $| M F_{1} - M F_{2} | = 2 a$ .

- Độ dài trục thực $2 a$ , độ dài trục ảo $2 b$ .

- Tâm sai $e = \frac{c}{a} < 1$ .

- Toạ độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $A_{1} (- a; - b)$ , $A_{2} (a; - b)$ , $A_{3} (a; b)$ , $A_{4} (- a; b)$ .

- Elip đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thì $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

2. Ví dụ minh hoạ lập phương trình chính tắc của hypebol

1) Hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là?

Giải:

Ta có: ${\begin{cases} a = 4 \\ 2 c = 10 \\ b^{2} = c^{2} - a^{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 4 \\ c = 5 \\ b = 3 \end{cases}$

Phương trình chính tắc của Hyperbol là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

2) Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol $H$ mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là $(2; - 3)$ .

Giải:

Gọi $H : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Toạ độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $A_{1} (- a; - b)$ , $A_{2} (a; - b)$ , $A_{3} (a; b)$ , $A_{4} (- a; b)$ .

Hình chữ nhật cơ sở của $H$ có một đỉnh là $(2; - 3)$ , suy ra ${\begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}$

Phương trình chính tắc của $H$ là $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

3) Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng 12 và độ dài trục thực bằng 10.

Giải:

Ta có: ${\begin{cases} 2 c = 12 \\ 2 a = 10 \\ b^{2} = c^{2} - a^{2} \end{cases}$

${\begin{cases} c = 6 \\ a = 5 \\ b^{2} = 11 \end{cases}$

Phương trình chính tắc $(H) : \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{11} = 1$ .

4) Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol $(H)$ biết nó đi qua điểm là $(5; 4)$ và một đường tiệm cận có phương trình là $x + y = 0$ .

Giải:

Ta có: ${\begin{cases} a = b \\ \frac{5^{2}}{a^{2}} - \frac{4^{2}}{b^{2}} = 1 \end{cases} \Rightarrow a = b = \sqrt{9} = 3$ .

Phương trình $(H) : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ hay $x^{2} - y^{2} = 9$ .

5) Hypebol có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 2; 0)$ và $F_{2} (2; 0)$ và một đỉnh $A (1, 0)$ có phương trình chính tắc là?

Giải:

Ta có: ${\begin{cases} c = 2 \\ a = 1 \\ b^{2} = c^{2} - a^{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a^{2} = 1 \\ b^{2} = 3 \end{cases}$ .

Phương trình $(H) : \frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ .