Cho tam giác ABC có đường cao AH. Để lập phương trình đường cao AH, ta thực hiện:

B1: Tìm toạ độ $\overrightarrow{BC}=(a;b)$ là vecto pháp tuyến của AH.

B2: Lập phương trình AH đi qua $A(x_A;y_A)$, nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vecto pháp tuyến:

- Phương trình tổng quát: $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$.

- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{c}x=x_A-bt\\ y=y_A+at\end{array}$.

1) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1). Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

Giải:

Gọi đường cao cần tìm là AH. Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-1\right)$ nên phương trình tổng quát của đường cao đó là: $-5\left(x-1\right)-1\left(y-2\right)=0\iff -5x-y+7=0$. Phương trình tham số: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2-5t\end{array}$.

2) Cho tam giác ABC có A(2; 1), B(0; 3), C(-2; -2). Lập phương trình đường cao kẻ từ B.

Giải:

Gọi đường cao cần tìm là BK. Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là đường thẳng đi qua B và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}=(-4;-3)$ nên phương trình đường cao đó là: $-4(x-0)-3(y-3)=0\iff -4x-3y+9=0\iff 4x+3y-9=0$. Phương trình tham số: $\{\begin{array}{c}x=3t\\ y=3-4t\end{array}$.

3) Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 2), C(3; -3). Lập phương trình đường cao kẻ từ C.

Giải:

Gọi đường cao cần tìm là CI. Đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là đường thẳng đi qua C và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=(4;1)$ nên phương trình đường cao đó là: $4(x-3)+1(y+3)=0\iff 4x+y-12+3=0\iff 4x+y-9=0$. Phương trình tham số: $\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=-3-4t\end{array}$