Trong không gian, cho hai điểm A và B. Để lập phương trình đường thẳng AB, ta thực hiện:

Bước 1: Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

Bước 2: Lập phương trình:

+ Chính tắc: \(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{z - {z_A}}}{{{z_B} - {z_A}}}\) \(\left( {{x_B} - {x_A} \ne 0;{y_B} - {y_A} \ne 0;{z_B} - {z_A} \ne 0} \right)\).

+ Tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + \left( {{x_B} - {x_A}} \right)t\\y = {y_A} + \left( {{y_B} - {y_A}} \right)t\\z = {z_A} + \left( {{z_B} - {z_A}} \right)t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

1) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;1) và N(3;1;-2). Lâp phương trình chính tắc của đường thẳng MN.

Giải:

\(\overrightarrow {MN}  = (2; - 1; - 3)\) là vecto chỉ phương của đường thẳng MN, lại có M(1;2;1) thuộc MN nên phương trình đường thẳng là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

2) Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A(2;3;-1) và B(1;-2;4).

Giải:

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 5;5} \right)\). Do đó:

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = - 1 + 5t}\end{array}} \right.\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}\).