Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và điểm \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).

Đường thẳng d có thể được cho dưới dạng chính tắc \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) hoặc tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Để lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với d và đi qua M, ta thực hiện:

Bước 1: Xác định vecto chỉ phương của d: \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\).

Bước 2: Lập phương trình đường thẳng di qua \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\), nhận \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) làm vecto chỉ phương:

+ Phương trình chính tắc: \(\frac{{x - {x_M}}}{a} = \frac{{y - {y_M}}}{b} = \frac{{z - {z_M}}}{c}\).

+ Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_M} + at\\y = {y_M} + bt\\z = {z_M} + ct\end{array} \right.\).

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 2t}\\{y = 3 - 4t}\\{z =  - 5t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Giải:

- Vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\vec u = (2, - 4, - 5)\).

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và có vecto chỉ phương \(\vec u = (2, - 4, - 5)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 3 - 4t}\\{z =  - 5 - 5t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và có vecto chỉ phương \(\vec u = (2, - 4, - 5)\) là:

\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z + 5}}{{ - 5}}\).