Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A, B. Để lập phương trình đường tròn đường kính AB, ta thực hiện:

B1: Tìm toạ độ tâm I của đường tròn là trung điểm của AB: \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\).

B2: Tính bán kính đường tròn: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2}} \).

B3: Lập phương trình đường tròn tâm I, bán kính R: \({(x - {x_I})^2} + {(y - {y_I})^2} = {R^2}\).

1) Viết phương trình đường tròn đường kính AB, với A(1; 3), B(-2; -1).

Giải:

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I \left( -\frac{1}{2}; 1 \right)$.

Ta có $\overrightarrow{AB} = (-3; -4) \Rightarrow AB = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$.

Đường tròn đường kính AB có tâm I, bán kính $R = \frac{5}{2}$, nên có phương trình:

$\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + (y - 1)^2 = \frac{25}{4}$.

2) Viết phương trình đường tròn đường kính CD, với C(2; 5), D(6; 1).

Giải:

Gọi I là trung điểm của CD $\Rightarrow I \left( \frac{2+6}{2}; \frac{5+1}{2} \right) = (4; 3)$.

Ta có $\overrightarrow{CD} = (4; -4) \Rightarrow CD = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Đường tròn đường kính CD có tâm I, bán kính $R = \frac{CD}{2} = 2\sqrt{2}$, nên có phương trình:

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.

3) Viết phương trình đường tròn đường kính EF, với E(-1; -2), F(5; 4).

Giải:

Gọi I là trung điểm của EF $\Rightarrow I \left( \frac{-1+5}{2}; \frac{-2+4}{2} \right) = (2; 1)$.

Ta có $\overrightarrow{EF} = (6; 6) \Rightarrow EF = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

Đường tròn đường kính EF có tâm I, bán kính $R = \frac{EF}{2} = 3\sqrt{2}$, nên có phương trình:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.