Cách lập phương trình đường trung tuyến của tam giác - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Phương trình đường thẳng - Từ điển môn Toán 10

Cách lập phương trình đường trung tuyến của tam giác - Toán 10

Cách lập phương trình đường trung tuyến của tam giác

Nội dung chính

1. Phương pháp lập phương trình đường trung tuyến của tam giác

2. Ví dụ minh hoạ lập phương trình đường trung tuyến của tam giác

1. Phương pháp lập phương trình đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Để lập phương trình đường trung tuyến AM, ta thực hiện:

B1: Tìm toạ độ M là trung điểm của BC: $M (\frac{x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{B} + y_{C}}{2})$ .

B2: Tìm toạ độ $- - \to A M = (a; b)$ là vecto chỉ phương của AM.

B3: Lập phương trình AM đi qua $A (x_{A}; y_{A})$ , nhận $- - \to A M$ làm vecto chỉ phương:

- Phương trình tham số: ${\begin{matrix} x = x_{A} + a t y = y_{A} + b t \end{matrix}$ .

- Phương trình tổng quát: $- b (x - x_{A}) + a (y - y_{A}) = 0$ .

2. Ví dụ minh hoạ lập phương trình đường trung tuyến của tam giác

1) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1). Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Giải:

Gọi M là trung điểm AC. Khi đó $⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{1 + (- 2)}{2} = - \frac{1}{2} y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + (- 1)}{2} = \frac{1}{2} \end{matrix} \Rightarrow M (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Trung tuyến BM đi qua điểm $B (3; 0)$ nhận vectơ $- - \to u_{B M} = 2 - - \to B M = (- 7; 1)$ là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của BM là ${\begin{matrix} x = 3 - 7 t y = t \end{matrix}$ .

Phương trình tổng quát: $1 (x - 3) + 7 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 7 y - 3 = 0$ .

2) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(0; 1) và C(6; 3). Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ A.

Giải:

Gọi N là trung điểm BC. Khi đó ${\begin{matrix} x_{N} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3 y_{N} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \end{matrix} \Rightarrow N (3; 2)$

Trung tuyến AN đi qua điểm $A (2; 4)$ nhận vectơ $- - \to u_{A N} = - - \to A N = (1; - 2)$ là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của AN là ${\begin{matrix} x = 2 + t y = 4 - 2 t \end{matrix}$ .

Phương trình tổng quát: $2 (x - 2) + 1 (y - 4) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 8 = 0$ .

3) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 3) và C(3; -1). Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ C.

Giải:

Gọi P là trung điểm AB. Khi đó ${\begin{matrix} x_{P} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 y_{P} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \end{matrix} \Rightarrow P (3; 2)$

Trung tuyến CP đi qua điểm $C (3; - 1)$ nhận vectơ $- - \to u_{C P} = - - \to C P = (0; 3)$ là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của CP là ${\begin{matrix} x = 3 y = - 1 + 3 t \end{matrix}$ .

Phương trình tổng quát: $1 (x - 3) + 0 (y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0$ .