Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Để lập phương trình đường trung tuyến AM, ta thực hiện:

B1: Tìm toạ độ M là trung điểm của BC: \(M\left( {\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right)\).

B2: Tìm toạ độ \(\overrightarrow {AM}  = (a;b)\) là vecto chỉ phương của AM.

B3: Lập phương trình AM đi qua \(A({x_A};{y_A})\), nhận \(\overrightarrow {AM} \) làm vecto chỉ phương:

- Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + at\\y = {y_A} + bt\end{array} \right.\).

- Phương trình tổng quát: \( - b(x - {x_A}) + a(y - {y_A}) = 0\).

1) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1). Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Giải:

Gọi M là trung điểm AC. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{1}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Trung tuyến BM đi qua điểm \(B\left( {3;0} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{BM}}} = 2\overrightarrow {BM} = \left( { - 7;1} \right)\) là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của BM là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 7t\\y = t\end{array} \right.\).

Phương trình tổng quát: \(1(x - 3) + 7(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 7y - 3 = 0\).

2) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(0; 1) và C(6; 3). Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ A.

Giải:

Gọi N là trung điểm BC. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{0 + 6}}{2} = 3\\{y_N} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {3;2} \right)\)

Trung tuyến AN đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{AN}}} = \overrightarrow {AN} = \left( {1;-2} \right)\) là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của AN là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\).

Phương trình tổng quát: \(2(x - 2) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 8 = 0\).

3) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 3) và C(3; -1). Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ C.

Giải:

Gọi P là trung điểm AB. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_P} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_P} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {3;2} \right)\)

Trung tuyến CP đi qua điểm \(C\left( {3;-1} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{CP}}} = \overrightarrow {CP} = \left( {0;3} \right)\) là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của CP là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = -1 + 3t\end{array} \right.\).

Phương trình tổng quát: \(1(x - 3) + 0(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0\).