Trong không gian Oxyz, cho điểm I(a; b; c) và mặt phẳng (P).

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R.

Để lập phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) , ta thực hiện:

Bước 1: Tính bán kính của (S).

Ta có $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R.

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Giải:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

$d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1+2.(-2)+2.0-5\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{8}{3}$.

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{8}{3}$.

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là:

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=\frac{64}{9}$.

2) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(3; -4; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).

Giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxy) là:

$d\left(I,\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|0.3+0.(-4)+1.2\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=2$.

Do (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu $R=d\left(I,\left(Oxy\right)\right)=2$.

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(3; -4; 2) và tiếp xúc với (Oxy) là:

$(x-3{)}^2+(y+4{)}^2+(z-2{)}^2=4$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(a; b; c) và đường thẳng d.

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng bán kính R.

Để lập phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d, ta thực hiện:

Bước 1: Tính bán kính của (S).

Ta có $R=d\left(I,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$ với M là điểm bất kì thuộc d, $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của d.

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R.

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.

Ví dụ minh hoạ:

Cho điểm A(-3;1;4) và đường thẳng d có phương trình $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-1}$. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

Giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1;-1)$ và đi qua điểm M(-1;2;-3).

Ta có $\overrightarrow{AM}=(2;1;7)$, $\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right]=(6;-12;0)$.

Khoảng cách từ A đến d là:

$d\left(A,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{6^2+{(-12)}^2+0^2}}{\sqrt{2^2+1^2+{(-1)}^2}}=\sqrt{30}$.

Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm A đến đường thẳng d là bán kính của mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu tâm A(-3;1;4), bán kính $R=\sqrt{30}$ là:

$(x+3{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2=30$.