Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua 3 điểm M, N, P. Để lập phương trình tổng quát của (P), ta thực hiện:

B1: Tìm cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha  \right)\), chẳng hạn \(\overrightarrow {MN}  = (a;b;c)\), \(\overrightarrow {MP}  = (a';b';c')\).

B2: Tìm một vecto pháp tuyến:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right) = (A;B;C)\).

B3: Viết phương trình \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (hoặc N, P) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\):

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

hay \(Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D =  - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Lập phương trình mặt phẳng (ABC).

Giải:

* Tìm hai vecto chỉ phương:

\(\overrightarrow {AB}  = (0 - 3;2 - 0;1 - 1) = ( - 3;2;0)\).

\(\overrightarrow {AC}  = (1 - 3;0 - 0;0 - 1) = ( - 2;0; - 1)\).

* Tìm vecto pháp tuyến:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} {\rm{\;}}} \right] = (2.( - 1) - 0.0;0.( - 2) - ( - 3).( - 1);( - 3).0 - 2.( - 2)) = ( - 2; - 3;4)\).

* Viết phương trình mặt phẳng:

\( - 2(x - 3) - 3(y - 0) + 4(z - 1) = 0\)

\( - 2x + 6 - 3y + 4z - 4 = 0\)

\( - 2x - 3y + 4z + 2 = 0\).