Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương - Toán 12
Phương trình mặt phẳng - Từ điển Toán 12 Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương - Toán 12
Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương
1. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng là gì?
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
3. Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương
1. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng là gì?
Nếu hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.
Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).
3. Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và \(\overrightarrow v = (a';b';c')\).
Để lập phương trình mặt phẳng (P):
B1: Tìm vecto pháp tuyến của (P):
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&c\\{b'}&{c'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}c&a\\{c'}&{a'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\{a'}&{b'}\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right) = (A;B;C)\).
B2: Viết phương trình \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\):
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
hay \(Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\).
Ví dụ minh hoạ:
Cho mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vecto chỉ phương là \(\vec a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\vec b = \left( {3;0;5} \right)\). Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\).
Giải:
* Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\):
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - ( - 3).0;( - 3).3 - ( - 1).5;( - 1).0 - 2.3) = (10; - 4; - 6)\).
* Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\):
\(10(x - 0) - 4(y - 0) - 6(z + 1) = 0\)
\(10x - 4y - 6z - 6 = 0\)
\(5x - 2y - 3z - 3 = 0\).