Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó $N(x_0;y_0;z_0)\in \left(\alpha \right)\iff A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$.

Để lập phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ vuông góc với d và đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chính là vecto chỉ phương của d:

$\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{u_d}=(A;B;C)$.

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$, nhận $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(A;B;C)$ làm vecto pháp tuyến:

$A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$.

Ví dụ minh hoạ:

Lập phương trình tổng quát của (P) đi qua điểm K(0;-3;4) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-4}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z-7}{2}$.

Giải:

Đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=\left(-1;3;2\right)$.

Vì $\left(P\right)\perp \Delta$ nên $\vec{u}=\left(-1;3;2\right)$ là một vecto pháp tuyến của $\left(P\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$-1\left(x-0\right)+3\left(y+3\right)+2\left(z-4\right)=0\iff -x+3y+2z+1=0$.