Đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ $\left(1\ne a>0\right)$:

- Luôn nằm trên trục hoành Ox.

- Luôn đi qua điểm (0;1).

- Cơ số:

+ a > 1: Đường cong càng gần Oy thì cơ số càng lớn.

+ 0 < a < 1: Đường cong càng gần Oy thì cơ số càng bé.

Đồ thị hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ $\left(1\ne a>0\right)$:

Đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ $\left(1\ne a>0\right)$:

- Luôn nằm bên phải trục tung Oy.

- Luôn đi qua điểm (1;0).

- Cơ số:

+ a > 1: Đường cong càng gần Ox thì cơ số càng lớn.

+ 0 < a < 1: Đường cong càng gần Ox thì cơ số càng bé.

1) Cho các hàm số $y=a^x$, $y=b^x$, $y=c^x$ lần lượt có đồ thị như hình vẽ. Hãy so sánh a, b, c.

Giải:

Thấy $y=b^x$ là hàm số mũ nghịch biến nên 0 < b < 1.

$y=a^x$, $y=c^x$ là hàm số mũ đồng biến nên a, c > 1.

Vì đồ thị $y=c^x$ gần trục Oy hơn $y=a^x$ nên a > c.

Từ đó c > a > b.

2) Cho các hàm số $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$, $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ và $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$. Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào đã cho?

Giải:

Dựa vào đồ thị, hàm số nghịch biến nên loại $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$, $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$.

Đồ thị đi qua điểm (-1;3) nên đồ thị đã cho là của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

3) Cho các hàm số $y={\log }_{2}x$, $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$, $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ và $y=2^x$. Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào đã cho?

Giải:

Đây là dạng đồ thị của hàm số $y={\log }_{a}x$ nên loại $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ và $y=2^x$.

Hàm số đồng biến loại $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$.

Đồ thị đi qua điểm $(2;1)$ nên đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số $y={\log }_{2}x$.

4) Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ được cho trong hình vẽ bên. So sánh các số a, b, c.

Giải:

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số $y={\log }_{b}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )\Rightarrow 0<b<1$.

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )\Rightarrow a,c>1$.

Xét $x>1:{\log }_{c}x>{\log }_{a}x\Rightarrow {\log }_{c}x>\frac{1}{{\log }_{x}a}\Rightarrow {\log }_{c}x\cdot {\log }_{x}a>1\iff {\log }_{c}a>1\iff a>c$.

Suy ra $b<c<a$.

5) Cho đồ thị hàm số $y=a^x$, $y=b^x$, $y={\log }_{c}x$ như hình vẽ. Tìm mối liên hệ của a, b, c.

Giải:

Nhận xét hàm số $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $c<1$.

Hàm số $y=a^x$, $y=b^x$ đồng biến nên $a>1$, $b>1$. 

Xét tại $x=1$ đồ thị hàm số $y=a^x$ có tung độ lớn hơn tung độ của đồ thị hàm số $y=b^x$ nên $a>b$. Vậy $a>b>1>c$.