Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng \(\sqrt A \), trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Khi rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu cần);

+ Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung rồi quy đồng;

+ Bước 3: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân thức kết hoặc các phép biến đổi khai căn để rút gọn phân thức.

\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi \(A \ge 0\). Từ đó ta giải bất phương trình để tìm điều kiện xác định.

Để rút gọn căn thức bậc hai, ta dựa vào các kiến thức:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức. Thông thường là

· \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

· \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Với A là một biểu thức, ta có:

· Với \(A \ge 0\) ta có \(\sqrt A  \ge 0\); \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\);

· \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Với số thực a bất kì và b không âm, ta có

\(\sqrt {{a^2}b}  = \left| a \right|\sqrt b \).

Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Tổng quát, với hai biểu thức A và B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \).

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Với số thực a bất kì và b không âm, ta có:

+ Nếu \(a \ge 0\) thì \(a\sqrt b  = \sqrt {{a^2}b} \).

+ Nếu \(a < 0\) thì \(a\sqrt b  =  - \sqrt {{a^2}b} \).

Biến đổi này được gọi là đưa thừa số vào trong dấu căn.

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\).

- Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có:

\(\frac{C}{{\sqrt A  + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\frac{C}{{\sqrt A  - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\).

- Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có:

\(\frac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\).