Cách tìm chân đường cao trên mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Vecto trong mặt phẳng tọa độ - Từ điển môn Toán 10

Cách tìm chân đường cao trên mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Cách tìm chân đường cao trên mặt phẳng tọa độ

Nội dung chính

1. Phương pháp tìm chân đường cao trên mặt phẳng toạ độ

2. Ví dụ minh hoạ về tìm chân đường cao trên mặt phẳng toạ độ

1. Phương pháp tìm chân đường cao trên mặt phẳng toạ độ

Cho tam giác ABC với đường cao AH. Để tìm toạ độ điểm H, ta thực hiện:

Bước 1: Giả sử H(x; y).

Bước 2: Giải hệ ${\begin{matrix} A H ⊥ B C H \in B C \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} - - \to A H . - - \to B C = 0 - - \to B H = k - - \to B C \end{matrix}$ tìm x, y.

2. Ví dụ minh hoạ về tìm chân đường cao trên mặt phẳng toạ độ

1) Cho tam giác ABC có A(5; 3), B(2; -1) và C(-1; 5). Tính toạ độ chân đường cao vẽ từ A.

Giải:

Gọi H(x; y) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Ta có $- - \to B C = (- 3; 6)$ , $- - \to A H = (x - 5; y - 3)$ .

Mà $A H ⊥ B C \Leftrightarrow - - \to A H . - - \to B C = 0 \Leftrightarrow - 3 (x - 5) + 6 (y - 3) = 0$

$\Leftrightarrow - 3 x + 6 y - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2 y - 1$ .

Mặt khác $H \in B C \Leftrightarrow - - \to B H = k - - \to B C \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 2 = - 3 k y + 1 = 6 k \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} (2 y - 1) - 2 = - 3 k y + 1 = 6 k \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 y + 3 k = 3 y - 6 k = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 1 k = \frac{1}{3} \end{matrix}$

Suy ra x = 2.1 – 1 = 1.

Vậy H(1; 1).

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8). Tìm toạ độ chân đường cao H kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Giải:

Gọi H(x; y) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Ta có $- - \to B C = (- 5; - 15)$ , $- - \to A H = (x - 4; y - 3)$ .

Mà $A H ⊥ B C \Leftrightarrow - - \to A H . - - \to B C = 0 \Leftrightarrow - 5 (x - 4) - 15 (y - 3) = 0$

$\Leftrightarrow - 5 x - 15 y + 65 = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 13 = 0 \Leftrightarrow x = 13 - 3 y$ .

Mặt khác $H \in B C \Leftrightarrow - - \to B H = k - - \to B C \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 2 = - 5 k y - 7 = - 15 k \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} (13 - 3 y) - 2 = - 5 k y - 7 = - 15 k \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} - 3 y + 5 k = - 11 y + 15 k = 7 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 4 k = \frac{1}{5} \end{matrix}$

Suy ra x = 13 – 3.4 = 1.

Vậy H(1; 4).