Cho tam giác ABC với đường cao AH. Để tìm toạ độ điểm H, ta thực hiện:

Bước 1: Giả sử H(x; y).

Bước 2: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\H \in BC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\) tìm x, y.

1) Cho tam giác ABC có A(5; 3), B(2; -1) và C(-1; 5). Tính toạ độ chân đường cao vẽ từ A.

Giải:

Gọi H(x; y) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 3;6)\), \(\overrightarrow {AH}  = (x - 5;y - 3)\).

Mà \(AH \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow  - 3(x - 5) + 6(y - 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 3x + 6y - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2y - 1\).

Mặt khác \(H \in BC \Leftrightarrow \overrightarrow {BH}  = k\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - 3k\\y + 1 = 6k\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(2y - 1) - 2 =  - 3k\\y + 1 = 6k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y + 3k = 3\\y - 6k =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\k = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra x = 2.1 – 1 = 1.

Vậy H(1; 1).

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8). Tìm toạ độ chân đường cao H kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Giải:

Gọi H(x; y) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 5; - 15)\), \(\overrightarrow {AH}  = (x - 4;y - 3)\).

Mà \(AH \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow  - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 5x - 15y + 65 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0 \Leftrightarrow x = 13 - 3y\).

Mặt khác \(H \in BC \Leftrightarrow \overrightarrow {BH}  = k\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - 5k\\y - 7 =  - 15k\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(13 - 3y) - 2 =  - 5k\\y - 7 =  - 15k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3y + 5k =  - 11\\y + 15k = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\k = \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

Suy ra x = 13 – 3.4 = 1.

Vậy H(1; 4).