Cho tam giác ABC với đường phân giác AD. Để tìm toạ độ điểm D, ta thực hiện:

Bước 1: Giả sử D(x; y).

Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:

$\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{DC}$ (dấu âm vì $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DC}$ ngược chiều).

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1; 3) và B (4; 2). Tìm toạ độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

Giải:

Gọi E(x; y). Ta có $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{EA}=(1-x;3-y)\\ \overrightarrow{EB}=(4-x;2-y)\end{array}$

$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, $OB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác: $\frac{EA}{EB}=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Mà E nằm giữa A, B nên $\overrightarrow{EA}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{EB}$

$\iff \{\begin{array}{c}1-x=-\frac{\sqrt{2}}{2}(4-x)\\ 3-y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(2-y)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-2+3\sqrt{2}\\ y=4-\sqrt{2}\end{array}$

Vậy $E\left(-2+3\sqrt{2};4-\sqrt{2}\right)$.

2) Cho tam giác ABC với AB = 5 và AC = 1. Tìm toạ độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A, biết B(7; –2) và C(1; 4).

Giải:

Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=5\Rightarrow DB=5DC\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-5\overrightarrow{DC}$.

Gọi $D(x;y)$; $\overrightarrow{DB}=(7-x;-2-y)$; $\overrightarrow{DC}=(1-x;4-y)$.

Suy ra: $\{\begin{array}{c}7-x=-5(1-x)\\ -2-y=-5(4-y)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$.

Vậy $D(2;3)$.