Cho tam giác ABC với đường phân giác AD. Để tìm toạ độ điểm D, ta thực hiện:

Bước 1: Giả sử D(x; y).

Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:

\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow \overrightarrow {DB}  =  - \frac{{AB}}{{AC}}.\overrightarrow {DC} \) (dấu âm vì \(\overrightarrow {DB} \), \(\overrightarrow {DC} \) ngược chiều).

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1; 3) và B (4; 2). Tìm toạ độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

Giải:

Gọi E(x; y). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {EA}  = (1 - x;3 - y)\\\overrightarrow {EB}  = (4 - x;2 - y)\end{array} \right.\)

\(OA = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \), \(OB = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác: \(\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Mà E nằm giữa A, B nên \(\overrightarrow {EA}  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\overrightarrow {EB} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(4 - x)\\3 - y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(2 - y)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3\sqrt 2 \\y = 4 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(E\left( { - 2 + 3\sqrt 2 ;4 - \sqrt 2 } \right)\).

2) Cho tam giác ABC với AB = 5 và AC = 1. Tìm toạ độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A, biết B(7; –2) và C(1; 4).

Giải:

Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = 5 \Rightarrow DB = 5DC \Rightarrow \overrightarrow{DB} = -5\overrightarrow{DC}$.

Gọi $D(x; y)$; $\overrightarrow{DB} = (7 - x; -2 - y)$; $\overrightarrow{DC} = (1 - x; 4 - y)$.

Suy ra: $\begin{cases} 7 - x = -5(1 - x) \\ -2 - y = -5(4 - y) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$.

Vậy $D(2; 3)$.