Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Phương trình đường thẳng - Từ điển môn Toán 10

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng - Toán 10

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Nội dung chính

1. Phương pháp tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

2. Ví dụ minh hoạ tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

1. Phương pháp tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Để tìm điểm B là điểm đối xứng với A qua d, ta thực hiện:

B1: Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

- Gọi toạ độ điểm $H (x_{H}; y_{H})$ . Vì điểm H thuộc d nên: $a x_{H} + b y_{H} + c = 0$ (1).

- Do AH vuông góc d nên $- - \to A H$ là vecto pháp tuyến của d.

$\Rightarrow - - \to A H (x H - x A; y H - y A)$ và $\to n (a; b)$ cùng phương $\Rightarrow b (x_{H} - x_{A}) - a (y_{H} - y_{A}) = 0$ (2).

- Giải hệ (1) và (2) ta được toạ độ điểm H.

B2: H là trung điểm của AB. Từ đó xác định điểm B.

2. Ví dụ minh hoạ tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Cho đường thẳng $d : x - y = 0$ và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

Giải:

Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d. Do H thuộc d nên $a - b = 0$ (1)

Ta có: $- -- \to M H (a - 1; b - 3)$ .

Đường thẳng MH vuông góc d nên (MH) nên cùng phương $\to n_{d} (1; - 1)$

$\Rightarrow \frac{a - 1}{1} = \frac{b - 3}{- 1} \Leftrightarrow - a + 1 = b - 3$ hay $a + b = 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: ${\begin{matrix} a - b = 0 a + b = 4 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} a = 2 b = 2 \end{matrix} \Rightarrow$ Toạ độ điểm H(2; 2).