Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Để tìm điểm B là điểm đối xứng với A qua d, ta thực hiện:

B1: Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

- Gọi toạ độ điểm $H(x_H; y_H)$. Vì điểm H thuộc d nên: $ax_H + by_H + c = 0$ (1).

- Do AH vuông góc d nên $\overrightarrow{AH}$ là vecto pháp tuyến của d. 

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} (xH - xA; yH - yA)$ và $\overrightarrow{n}(a; b)$ cùng phương $\Rightarrow b(x_H – x_A) - a(y_H – y_A) = 0$ (2).

- Giải hệ (1) và (2) ta được toạ độ điểm H.

B2: H là trung điểm của AB. Từ đó xác định điểm B.

Cho đường thẳng \(d:x - y = 0\) và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

Giải:

Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d. Do H thuộc d nên \(a - b = 0\) (1)

Ta có: \(\overrightarrow {MH} (a - 1;b - 3)\). 

Đường thẳng MH vuông góc d nên (MH) nên cùng phương \(\overrightarrow {{n_d}} (1; - 1)\) 

\( \Rightarrow \frac{{a - 1}}{1} = \frac{{b - 3}}{{ - 1}} \Leftrightarrow  - a + 1 = b - 3\) hay \(a + b = 4\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 0}\\{a + b = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \) Toạ độ điểm H(2; 2).