Biến đổi biểu thức về dạng ${\left(A\pm B\right)}^2+m$ hoặc $m-{\left(A\pm B\right)}^2$ với $m\in R$.

Khi đó:

+ Vì ${\left(A\pm B\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(A\pm B\right)}^2+m\ge m$. Vậy GTNN của biểu thức là m, dấu bằng xảy ra khi $A\pm B=0$.

+ Vì ${\left(A\pm B\right)}^2\ge 0$ nên $m-{\left(A\pm B\right)}^2\le m$. Vậy GTNN của biểu thức là m, dấu bằng xảy ra khi $A\pm B=0$.

Ví dụ:

a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^2-2x+3=0$

$\begin{array}{c}A=x^2-2x+3\\ =\left(x^2-2x+1\right)+2\\ ={\left(x-1\right)}^2+2\end{array}$

Vì ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x-1\right)}^2+2\ge 2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2, dấu bằng xảy ra khi $x-1=0$ hay $x=1$.

b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B=-x^2+x$.

$\begin{array}{c}B=-x^2+x\\ =-x^2+2.x.\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ =-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\\ =-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\end{array}$

Vì ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$ nên $-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$,

do đó $-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$.

Vậy giá trị lớn nhất của B là $\frac{1}{4}$, dấu bằng xảy ra khi $x-\frac{1}{2}$ = 0 hay $x=\frac{1}{2}$.

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Ví dụ: ${101}^2=(100+1{)}^2={100}^2+\mathrm{2.100.1}+1^2=10201$

$x^2+4xy+4y^2=x^2+2.x.2y+(2y{)}^2=(x+2y{)}^2$

${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Ví dụ: ${99}^2=(100-1{)}^2={100}^2-\mathrm{2.100.1}+1^2=9801$

$(3x-2y{)}^2=(3x{)}^2-2.3x.2y+(2y{)}^2=9x^2-12xy+4y^2$