Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập $D$.

- Số $M$ là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $f$ trên $D$.

$\iff \{\begin{array}{c}f\left(x\right)\le M,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D\text{sao cho}f\left(x_0\right)=M\end{array}$

Kí hiệu: $M=\underset{D}{max}f\left(x\right)$.

- Số $m$ là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $f$ trên $D$.

$\iff \{\begin{array}{c}f\left(x\right)\ge m,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D\text{sao cho}f\left(x_0\right)=m\end{array}$

Kí hiệu: $m=\underset{D}{min}f\left(x\right)$.

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị $x_1,x_2,...,x_n\in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),...,f\left(x_n\right),f\left(b\right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\underset{[a;b]}{max}f\left(x\right)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\underset{[a;b]}{min}f\left(x\right)$.

Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng chứa $\pm \infty$, ta cầm tìm $\underset{x\to \pm \infty }{lim}f\left(x\right)$ và so sánh.

Ví dụ minh hoạ:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=x^3-8x^2-12x+1$ trên đoạn $\left[-2;9\right]$;

b) $y=-2x^3+9x^2-17$ trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$;

c) $y=x^3-12x+4$ trên đoạn $\left[-6;3\right]$;

d) $y=2x^3-x^2-28x-3$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$;

e) $y=-3x^3+4x^2-5x-17$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$.

Giải:

a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-8x^2-12x+1$ trên đoạn $\left[-2;9\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-16x-12$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=6$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$.

$f\left(-2\right)=-15;f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{139}{27};f\left(6\right)=-143;f\left(9\right)=-26$.

Vậy $\underset{\left[-2;9\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{139}{27},\underset{\left[-2;9\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(6\right)=-143$.

b) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=-2x^3+9x^2-17$ trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-6x^2+18x$.

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(-\infty ;4\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(0\right)=-17$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$.

c) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-12x+4$ trên đoạn $\left[-6;3\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12$.

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2$ hoặc $x=-2$.

$f\left(-6\right)=-140;f\left(-2\right)=20;f\left(2\right)=-12;f\left(3\right)=-5$.

Vậy $\underset{\left[-6;3\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=20,\underset{\left[-6;3\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-6\right)=-140$.

d) Xét hàm số $y=2x^3-x^2-28x-3$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-2x-28$.

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{7}{3}$ (loại) hoặc $x=-2$.

$f\left(-2\right)=33;f\left(1\right)=-30$.

Vậy $\underset{\left[-2;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=33,\underset{\left[-2;1\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(1\right)=-30$.

e) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=-3x^3+4x^2-5x-17$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-9x^2+8x-5=-9{\left(x-\frac{4}{9}\right)}^2-\frac{29}{9}<0,\forall x\in \left[-1;2\right]$.

$f\left(-1\right)=-5;f\left(2\right)=-35$.

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-1\right)=-5,\underset{\left[-1;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-35$.