Giả sử hàm số bậc hai cần tìm là \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\). Nếu đề bài cho:

- Đỉnh \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \Rightarrow {x_I} =  - \frac{b}{{2a}}\), \({y_I} =  - \frac{\Delta }{{4a}} = f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

- Trục đối xứng \(x = {x_0} \Rightarrow {x_0} =  - \frac{b}{{2a}}\).

- Đồ thị có bề lõm quay lên trên $\Rightarrow a > 0$, đồ thị có bề lõm quay xuống dưới $\Rightarrow a < 0$.

- Đồ thị đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \Rightarrow {y_M} = a{x_M}^2 + b{x_M} + c\).

- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \({y_0} \Rightarrow c = {y_0}\).

Xác định hàm số bậc hai biết đồ thị tương ứng trong mỗi hình sau:

Giải:

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).

a) Đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {1; - 4} \right)\) và đi qua điểm \(\left( { - 1;0} \right),\left( {3;0} \right)\), suy ra:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\a{\left( { - 1} \right)^2} + b\left( { - 1} \right) + c = 0\\a{.3^2} + b.3 + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a - b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy parabol đó là \(y = {x^2} - 2x - 3\).

b) Đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( { - 1;2} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;0} \right),\left( { - 2;0} \right)\), suy ra:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\a{.0^2} + b.0 + c = 0\\a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\c = 0\\4a - 2b + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 4\\c = 0\end{array} \right.\)

Vậy parabol đó là \(y =  - 2{x^2} - 4x\).