Cách tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Phương trình đường thẳng - Từ điển môn Toán 10

Cách tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng - Toán 10

Cách tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng

Nội dung chính

1. Phương pháp tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng

2. Ví dụ minh hoạ tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng

1. Phương pháp tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng

Cho trước điểm $A (x_{0}; y_{0})$ và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến $\to n = (a; b)$ . Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:

B1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

B2: Lập phương trình tổng quát của AH đi qua A, nhận $\to n = (a; b)$ làm vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là $^{'} = (b; - a)$ : $b (x - x_{0}) - a (y - y_{0}) = 0$ .

B3: AH và d cắt nhau tại H nên toạ độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

${\begin{matrix} a x + b y + c = 0 b (x - x_{0}) - a (y - y_{0}) = 0 \end{matrix}$ .

2. Ví dụ minh hoạ tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng

1) Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M (4; 1) lên đường thẳng $Δ : x - 2 y + 4 = 0$ là?

Giải:

Ta có: $_{Δ} = (1; - 2)$ .

Đường thẳng $d ⊥ Δ \Rightarrow_{d} = (2; 1)$ .

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $Δ : 2 (x - 4) + (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 9 = 0$ .

Khi đó điểm $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Δ$ chính là giao điểm của $d$ và $Δ$ .

$\Rightarrow$ Toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{matrix} x - 2 y + 4 = 0 2 x + y - 9 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{14}{5} y = \frac{17}{5} \end{matrix} \Rightarrow H (\frac{14}{5}, \frac{17}{5}) .$

2) Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3) lên đường thẳng $Δ : 3 x - y + 1 = 0$ là?

Giải:

Ta có: $_{Δ} = (3; - 1)$ .

Đường thẳng $d ⊥ Δ \Rightarrow_{d} = (1; 3)$ .

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $Δ : 1 (x - 2) + 3 (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 11 = 0$ .

Khi đó điểm $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Δ$ chính là giao điểm của $d$ và $Δ$ .

$\Rightarrow$ Toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{matrix} 3 x - y + 1 = 0 x + 3 y - 11 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{4}{5} y = \frac{17}{5} \end{matrix} \Rightarrow H (\frac{4}{5}, \frac{17}{5}) .$

3) Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -2) lên đường thẳng $Δ : 2 x + y - 5 = 0$ là?

Giải:

Ta có: $_{Δ} = (2; 1)$ .

Đường thẳng $d ⊥ Δ \Rightarrow_{d} = (1; - 2)$ .

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $Δ : 1 (x - 1) - 2 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 5 = 0$ .

Khi đó điểm $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Δ$ chính là giao điểm của $d$ và $Δ$ .

$\Rightarrow$ Toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{matrix} 2 x + y - 5 = 0 x - 2 y - 5 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 3 y = - 1 \end{matrix} \Rightarrow H (3, - 1) .$