Cho trước điểm \(A({x_0};{y_0})\) và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (a;b)\). Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:

B1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

B2: Lập phương trình tổng quát của AH đi qua A, nhận \(\overrightarrow n  = (a;b)\) làm vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'}  = (b; - a)\): \(b(x - {x_0}) - a(y - {y_0}) = 0\).

B3: AH và d cắt nhau tại H nên toạ độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ax + by + c = 0}\\{b(x - {x_0}) - a(y - {y_0}) = 0}\end{array}} \right.\).

1) Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M (4; 1) lên đường thẳng $\Delta: x - 2y + 4 = 0$ là?

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_\Delta} = (1; -2)$. 

Đường thẳng $d \perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{n_d} = (2; 1)$. 

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta : 2(x-4) + (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 9 = 0$.

Khi đó điểm $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\Delta$ chính là giao điểm của $d$ và $\Delta$.

$\Rightarrow$ Toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} x - 2y + 4 = 0 \\ 2x + y - 9 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{14}{5} \\ y = \frac{17}{5} \end{cases} \Rightarrow H \left( \frac{14}{5}, \frac{17}{5} \right).$

2) Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3) lên đường thẳng $\Delta: 3x - y + 1 = 0$ là?

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_\Delta} = (3; -1)$. 

Đường thẳng $d \perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{n_d} = (1; 3)$. 

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta : 1(x-2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0$.

Khi đó điểm $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\Delta$ chính là giao điểm của $d$ và $\Delta$.

$\Rightarrow$ Toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} 3x - y + 1 = 0 \\ x + 3y - 11 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{4}{5} \\ y = \frac{17}{5} \end{cases} \Rightarrow H \left( \frac{4}{5}, \frac{17}{5} \right).$

3) Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -2) lên đường thẳng $\Delta: 2x + y - 5 = 0$ là?

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_\Delta} = (2; 1)$. 

Đường thẳng $d \perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{n_d} = (1; -2)$. 

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta : 1(x-1) - 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0$.

Khi đó điểm $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\Delta$ chính là giao điểm của $d$ và $\Delta$.

$\Rightarrow$ Toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x + y - 5 = 0 \\ x - 2y - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = -1 \end{cases} \Rightarrow H \left( 3, -1 \right).$