Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai vecto \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2})\) và \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})\).

\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\end{array} \right.\).

Khi \({b_1},{b_2} \ne 0\) thì \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} \Leftrightarrow \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.

1) Cho \(\overrightarrow u = ({m^2} + m - 2;4)\) và \(\overrightarrow v = (m;2)\). Tìm m để hai vecto \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) cùng phương.

Giải:

Để hai vecto \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) cùng phương \( \Leftrightarrow \) tồn tại số k thoả mãn \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + m - 2 = k.m}\\{4 = k.2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\{m^2} + m - 2 = 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy m = -1 hoặc m = 2 thì hai vecto \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) cùng phương.

2) Cho hai vecto \(\overrightarrow h  = \left( {\frac{1}{4}; - 6} \right)\) và \(\overrightarrow k  = (m; - 5)\). Tìm m để hai vecto \(\overrightarrow h \) và \(\overrightarrow k \) cùng phương.

Giải:

\(\overrightarrow h \) và \(\overrightarrow k \) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{m}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{ - 5}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 4m = \frac{5}{6} \Leftrightarrow m = \frac{5}{{24}}\).

Vậy khi \(m = \frac{5}{{24}}\) thì \(\overrightarrow h \) và \(\overrightarrow k \) cùng phương.