Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $K$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi $x_1$, $x_2$ thuộc $K$ mà $x_1<x_2$ thì $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi $x_1$, $x_2$ thuộc $K$ mà $x_1<x_2$ thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$.

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x).

Bước 3:

- Đề bài yêu cầu hàm số đồng biến thì tìm điều kiện để:

+ với hàm đa thức.

+ với hàm phân thức bậc nhất.

- Đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến thì tìm điều kiện để:

+ với hàm đa thức.

+ với hàm phân thức bậc nhất.

Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm.

Ví dụ minh hoạ:

a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên .

b) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.

Giải:

a) .

TXĐ: .

Ta có .

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi , .

Khi đó

.

b) .

TXĐ: .

Ta có .

Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định khi và chỉ khi:

.

1) Đối với hàm đa thức:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x).

Bước 2: Để hàm số đồng biến trên (p;q), tìm m để . Để hàm số nghịch biến trên (p;q), tìm m để .

Cách 2: Cô lập m và xét dấu theo quy tắc:

+ .

+ .

2) Đối với hàm phân thức bậc nhất :

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x).

Bước 3: Kết luận:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (p;q) .

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (p;q) .

Ví dụ minh hoạ:

a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên .

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên .

Giải:

a) Xét trên .

Tập xác định: .

Ta có .

Để f(x) đồng biến trên thì

.

Đặt ; .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy .

b) Xét trên .

Tập xác định: .

Để hàm số đồng biến trên , ta có:

.