Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\).

Ta cần tìm m sao cho hệ số của \({x^3},{x^4},{x^5},...\) bằng 0 (để luỹ thừa bậc cao nhất của x là bậc 2) và hệ số của \({x^2}\) khác 0.

1) Cho hàm số $y = mx^2 - 4x + 1$. Tìm điều kiện của m để hàm số đó là hàm số bậc hai.

Giải:

Hàm số $y = mx^2 - 4x + 1$ có dạng $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a = m$, $b = -4$, $c = 1$.

Do đó, để hàm số là hàm số bậc hai thì: $a \neq 0$ hay $m \neq 0$.

Vậy $m \neq 0$ thì hàm số $y = mx^2 - 4x + 1$ là hàm số bậc hai.

2) Cho hàm số $y = (m - 1)x^3 - 2x^2 + 1$. Tìm điều kiện của m để hàm số đó là hàm số bậc hai.

Giải:

Hàm số $y = (m - 1)x^3 - 2x^2 + 1$ đang có luỹ thừa bậc cao nhất của x là bậc 3, do đó, để hàm số là hàm số bậc hai thì: $m - 1 = 0$ hay $m = 1$.

Khi đó, hàm số trở thành $y = -2x^2 + 1$ có dạng $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a = -2, b = 0, c = 1$ là hàm số bậc hai.

Vậy $m = 1$ thì hàm số $y = (m - 1)x^3 - 2x^2 + 1$ là hàm số bậc hai.

3) Với giá trị nào của m thì hàm số $y = (m + 1)x^3 - (m + 1)x^2$ là hàm số bậc hai?

Giải:

Để hàm số là hàm số bậc hai thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\m \ne  - 1\end{array} \right.\) (vô lí).

Vậy không có giá trị $m$ để hàm số trên là hàm số bậc hai.