Cho phương trình (C): $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Để (C) là phương trình đường tròn thì $a^2+b^2-c>0$. Giải bất phương trình trên để tìm m.

1) Cho phương trình: $x^2+y^2-2mx+4y+4=0$. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

Giải:

Phương trình $x^2+y^2-2mx+4y+4=0$ có $a=m;b=-2$ và $c=4$.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:

$a^2+b^2-c>0\iff m^2+(-2{)}^2-4>0\iff m^2>0\iff m\ne 0$.

2) Cho phương trình: $x^2+y^2+6x-2my+m^2-9=0$. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn.

Giải:

Phương trình có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, với: a = -3, b = m, c = m^2 - 9.

Điều kiện để phương trình là đường tròn: $a^2+b^2-c>0$

$\iff (-3{)}^2+m^2-(m^2-9)>0\iff 9+m^2-m^2+9>0$

$\iff 18>0$ (luôn đúng).

Vậy phương trình là đường tròn với mọi m.

3) Cho phương trình: $x^2+y^2-4x+2my+m-5=0$. Tìm tất cả giá trị m để phương trình biểu diễn một đường tròn. Nếu có, xác định tâm và bán kính theo m.

Giải:

Phương trình có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, với: a = 2, b = -m, c = m - 5.

Điều kiện để phương trình là đường tròn: $a^2+b^2-c>0$

$\iff 4+m^2-(m-5)>0\iff m^2-m+9>0$

$\iff {\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{35}{4}>0$ (luôn đúng với mọi m).

Vậy phương trình là đường tròn với mọi m, có tâm $I(2;m)$ và bán kính $R=\sqrt{m^2-m+9}$.