Cho phương trình (C): \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Để (C) là phương trình đường tròn thì \({a^2} + {b^2} - c > 0\). Giải bất phương trình trên để tìm m.

1) Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2mx + 4y + 4 = 0\). Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

Giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2mx + 4y + 4 = 0\) có \(a = m;{\mkern 1mu} b =  - 2\) và \(c = 4\).

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:

\({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {m^2} + {( - 2)^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

2) Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} + 6x - 2my + {m^2} - 9 = 0\). Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn.

Giải:

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\), với: a = -3, b = m, c = m^2 - 9.

Điều kiện để phương trình là đường tròn: \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

\( \Leftrightarrow {( - 3)^2} + {m^2} - ({m^2} - 9) > 0 \Leftrightarrow 9 + {m^2} - {m^2} + 9 > 0\)

\( \Leftrightarrow 18 > 0\) (luôn đúng).

Vậy phương trình là đường tròn với mọi m.

3) Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} - 4x + 2my + m - 5 = 0\). Tìm tất cả giá trị m để phương trình biểu diễn một đường tròn. Nếu có, xác định tâm và bán kính theo m.

Giải:

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\), với: a = 2, b = -m, c = m - 5.

Điều kiện để phương trình là đường tròn: \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

\( \Leftrightarrow 4 + {m^2} - (m - 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m + 9 > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{35}}{4} > 0\) (luôn đúng với mọi m).

Vậy phương trình là đường tròn với mọi m, có tâm \(I(2;m)\) và bán kính \(R = \sqrt {{m^2} - m + 9} \).