Cho tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c$.

$a{x}^2+bx+c>0,\forall x\in R\iff \{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta <0\end{array}$

$a{x}^2+bx+c\ge 0,\forall x\in R\iff \{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}$

$a{x}^2+bx+c<0,\forall x\in R\iff \{\begin{array}{c}a<0\\ \Delta <0\end{array}$

$a{x}^2+bx+c\le 0,\forall x\in R\iff \{\begin{array}{c}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$

1) Tìm m để biểu thức $f\left(x\right)=m{x}^2-x-1$ luôn âm.

Giải:

Với $m=0$ thì $f\left(x\right)=-x-1$ vẫn có thể đạt giá trị dương nên loại m.

Với $m\ne 0$ thì $f\left(x\right)=m{x}^2-x-1$ là tam thức bậc hai.

Để $f\left(x\right)<0$ $\forall x\in R$ thì $\{\begin{array}{c}a=m<0\\ \Delta =1+4m<0\end{array}$ hay $-\frac{1}{4}<m<0$.

Vậy để biểu thức $f\left(x\right)=m{x}^2-x-1$ luôn âm thì $-\frac{1}{4}<m<0$.

2) Tìm m để $3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2\ge 0$, $\forall x\in R$.

Giải:

Cần $\{\begin{array}{c}\Delta {}_1^{\prime }\le 0\\ a_1=3>0\end{array}$

Ta có $\Delta {}_1^{\prime }=(m+1{)}^2+3(2m^2-3m+2)\le 0$ hay $7m^2-7m+7\le 0$.

Xét biểu thức $7m^2-7m+7$ có $\{\begin{array}{c}{\Delta }_2=(-7{)}^2-\mathrm{4.7.7}=-147<0\\ a_2=7>0\end{array}$ nên $7m^2-7m+7>0$.

Suy ra không có giá trị m nào để $7m^2-7m+7\le 0$, hay $\Delta {}_1^{\prime }\le 0$.

Vậy không có giá trị m để $3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2\ge 0$, $\forall x\in R$.

3) Chứng minh hàm số $y=\sqrt{m^2{x}^2-4mx+m^2-2m+5}$ có tập xác định là $R$ với mọi m.

Giải:

ĐKXĐ: $m^2{x}^2-4mx+m^2-2m+5\ge 0$ (*)

Với $m=0$ thì (*) đúng với mọi x.

Với $m\ne 0$, xét tam thức bậc hai $f\left(x\right)=m^2{x}^2-4mx+m^2-2m+5$.

Ta có $\{\begin{array}{c}a=m^2>0\\ {\Delta }^{\prime }=4m^2-8(2m^2+1)=-12m^2-8<0\end{array}$

Suy ra $m^2{x}^2-4mx+m^2-2m+5>0$ $\forall x\in R$.

Vậy hàm số $y=\sqrt{m^2{x}^2-4mx+m^2-2m+5}$ có tập xác định là $R$ với mọi m.