Một số công thức tính nguyên hàm của hàm số luỹ thừa:

+ \(\int {0dx}  = C\);

+ \(\int {dx}  = \int {1dx}  = x + C\);

+ \(\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\) \((\alpha  \ne  - 1)\);

+ \(\int {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\);

+ \(\int {\frac{1}{{{x^\alpha }}}dx}  = \int {{x^{ - \alpha }}dx}  = \frac{{{x^{ - \alpha  + 1}}}}{{ - \alpha  + 1}} + C\).

Công thức mở rộng:

+ \(\int {du}  = u + C\);

+ \(\int {{u^\alpha }du}  = \frac{{{u^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\) \((\alpha  \ne  - 1)\);

+ \(\int {\frac{1}{u}dx}  = \ln \left| u \right| + C\);

+ \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\);

+ \(\int {\frac{1}{{2\sqrt x }}dx}  = \sqrt x  + C\) (x > 0);

+ \(\int {\frac{1}{{2\sqrt u }}du}  = \sqrt u  + C\) (x > 0).

1) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^5}\) là:

\(\int {f(x)dx} = \int {{x^5}dx}\)

\(= \frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} + C \)

\(= \frac{{{x^6}}}{6} + C\).

2) Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x\) là:

\(\int {({x^3} - x)dx = \frac{{{x^4}}}{4}} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\).

3) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\) là:

\(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx}\)

\(= \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).

4) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\pi ^2}\) là:

\(F(x) = \int {{\pi ^2}dx} = {\pi ^2}x + C\).