Một số công thức tính nguyên hàm của hàm số luỹ thừa:

+ $\int 0dx=C$;

+ $\int dx=\int 1dx=x+C$;

+ $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ $(\alpha \ne -1)$;

+ $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$;

+ $\int \frac{1}{x^{\alpha }}dx=\int x^{-\alpha }dx=\frac{x^{-\alpha +1}}{-\alpha +1}+C$.

Công thức mở rộng:

+ $\int du=u+C$;

+ $\int u^{\alpha }du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ $(\alpha \ne -1)$;

+ $\int \frac{1}{u}dx=\ln \left|u\right|+C$;

+ $\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C$;

+ $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+C$ (x > 0);

+ $\int \frac{1}{2\sqrt{u}}du=\sqrt{u}+C$ (x > 0).

1) Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^5$ là:

$\int f\left(x\right)dx=\int x^{5}dx$

$=\frac{x^{5+1}}{5+1}+C$

$=\frac{x^6}{6}+C$.

2) Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3-x$ là:

$\int (x^3-x)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+C$.

3) Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}$ là:

$\int f\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x^3}dx=\int x^{-3}dx$

$=\frac{x^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2x^2}+C$.

4) Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\pi }^2$ là:

$F\left(x\right)=\int {\pi }^{2}dx={\pi }^{2}x+C$.