Bước 1: Từ công thức truy hồi, tìm các số hạng đầu tiên của dãy số.

Bước 2: Đặt:

\(\Delta {u_k} = {u_{k + 1}} - {u_k}\);

\({\Delta ^2}{u_k} = \Delta {u_{k + 1}} - \Delta {u_k}\);

\({\Delta ^3}{u_k} = {\Delta ^2}{u_{k + 1}} - {\Delta ^2}{u_k}\);

…

Ta lập bảng các giá trị \(\Delta {u_k}\), \({\Delta ^2}{u_k}\), \({\Delta ^3}{u_k}\),… đến hàng có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận \({u_n}\) là đa thức bậc tương ứng 1, 2, 3,… và đi tìm đa thức đó.

- Nếu \(\Delta {u_k}\) không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = an + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \({\Delta ^2}{u_k}\) không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = a{n^2} + bn + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \({\Delta ^3}{u_k}\) không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = a{n^3} + b{n^2} + cn + d\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 3: Từ các số hạng \({u_1}\), \({u_2}\), \({u_3}\),… đã tìm, lập hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c, d,…

Chú ý: Có k hệ số cần tìm thì cần giải hệ k phương trình.

1) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có dạng khai triển sau: 1; -1; -1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55;… Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

Giải:

Bảng giá trị:

Ta thấy hàng \({\Delta ^2}{u_k} = 2\) không đổi nên số hạng tổng quát có dạng \({u_n} = a{n^2} + bn + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} =  - 1\\{u_3} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = a{.1^2} + b.1 + c\\ - 1 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - 1 = a{.3^2} + b.3 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\\c = 5\end{array} \right.\)

Vậy số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {n^2} - 5n + 5\).

2) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{(n \ge 1)}\end{array}\).

Giải:

Các số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = 1\);

\({u_2} = {u_1} + 3 =  - 1 + 3 = 2\);

\({u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5\);

\({u_4} = {u_3} + 3 = 5 + 3 = 8\);

…

Bảng giá trị:

Ta thấy hàng \(\Delta {u_k}\) không đổi nên số hạng tổng quát có dạng \({u_n} = an + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a.1 + b\\2 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 3n - 4\).

3) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{(n \ge 1)}\end{array}\).

Giải:

Các số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = 5\);

\({u_2} = {u_1} + 3.1 - 2 = 5 + 3 - 2 = 6\);

\({u_3} = {u_2} + 3.2 - 2 = 6 + 6 - 2 = 10\);

\({u_4} = {u_3} + 3.3 - 2 = 10 + 9 - 2 = 17\);

…

Bảng giá trị:

Ta thấy hàng \({\Delta ^2}{u_k} = 2\) không đổi nên số hạng tổng quát có dạng \({u_n} = a{n^2} + bn + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = 6\\{u_3} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = a{.1^2} + b.1 + c\\6 = a{.2^2} + b.2 + c\\10 = a{.3^2} + b.3 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b =  - \frac{7}{2}\\c = 7\end{array} \right.\)

Vậy số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = \frac{3}{2}{n^2} - \frac{7}{2}n + 7\).