Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số biết các số hạng đầu hoặc công thức truy hồi - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Dãy số - Từ điển môn Toán 11

Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số biết các số hạng đầu hoặc công thức truy hồi - Toán 11

Cách tìm công thức số hạng tổng quát biết các số hạng đầu hoặc công thức truy hồi

Nội dung chính

1. Phương pháp tìm số hạng tổng quát

2. Ví dụ minh hoạ về tìm số hạng tổng quát

1. Phương pháp tìm số hạng tổng quát

Bước 1: Từ công thức truy hồi, tìm các số hạng đầu tiên của dãy số.

Bước 2: Đặt:

$Δ u_{k} = u_{k + 1} - u_{k}$ ;

$Δ^{2} u_{k} = Δ u_{k + 1} - Δ u_{k}$ ;

$Δ^{3} u_{k} = Δ^{2} u_{k + 1} - Δ^{2} u_{k}$ ;

…

Ta lập bảng các giá trị $Δ u_{k}$ , $Δ^{2} u_{k}$ , $Δ^{3} u_{k}$ ,… đến hàng có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận $u_{n}$ là đa thức bậc tương ứng 1, 2, 3,… và đi tìm đa thức đó.

- Nếu $Δ u_{k}$ không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n} = a n + b$ $(a \neq 0)$ .

- Nếu $Δ^{2} u_{k}$ không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n} = a n^{2} + b n + c$ $(a \neq 0)$ .

- Nếu $Δ^{3} u_{k}$ không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n} = a n^{3} + b n^{2} + c n + d$ $(a \neq 0)$ .

Bước 3: Từ các số hạng $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ ,… đã tìm, lập hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c, d,…

Chú ý: Có k hệ số cần tìm thì cần giải hệ k phương trình.

2. Ví dụ minh hoạ về tìm số hạng tổng quát

1) Cho dãy số $(u_{n})$ có dạng khai triển sau: 1; -1; -1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55;… Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

Giải:

Bảng giá trị:

Ta thấy hàng $Δ^{2} u_{k} = 2$ không đổi nên số hạng tổng quát có dạng $u_{n} = a n^{2} + b n + c$ $(a \neq 0)$ .

Ta có $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} u_{1} = 1 u_{2} = - 1 u_{3} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 1 = a {.1}^{2} + b .1 + c - 1 = a {.2}^{2} + b .2 + c - 1 = a {.3}^{2} + b .3 + c \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = 1 b = - 5 c = 5 \end{matrix}$

Vậy số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là $u_{n} = n^{2} - 5 n + 5$ .

2) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy $(u_{n})$ , biết ${\begin{matrix} u_{1} = - 1 u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} (n \geq 1) \end{matrix}$ .

Giải:

Các số hạng đầu của dãy số là: $u_{1} = 1$ ;

$u_{2} = u_{1} + 3 = - 1 + 3 = 2$ ;

$u_{3} = u_{2} + 3 = 2 + 3 = 5$ ;

$u_{4} = u_{3} + 3 = 5 + 3 = 8$ ;

…

Bảng giá trị:

Ta thấy hàng $Δ u_{k}$ không đổi nên số hạng tổng quát có dạng $u_{n} = a n + b$ $(a \neq 0)$ .

Ta có ${\begin{matrix} u_{1} = - 1 u_{2} = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} - 1 = a .1 + b 2 = a .2 + b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 3 b = - 4 \end{matrix}$

Vậy số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là $u_{n} = 3 n - 4$ .

3) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy $(u_{n})$ , biết ${\begin{matrix} u_{1} = 5 u_{n + 1} = u_{n} + 3 n - 2 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} (n \geq 1) \end{matrix}$ .

Giải:

Các số hạng đầu của dãy số là: $u_{1} = 5$ ;

$u_{2} = u_{1} + 3.1 - 2 = 5 + 3 - 2 = 6$ ;

$u_{3} = u_{2} + 3.2 - 2 = 6 + 6 - 2 = 10$ ;

$u_{4} = u_{3} + 3.3 - 2 = 10 + 9 - 2 = 17$ ;

…

Bảng giá trị:

Ta thấy hàng $Δ^{2} u_{k} = 2$ không đổi nên số hạng tổng quát có dạng $u_{n} = a n^{2} + b n + c$ $(a \neq 0)$ .

Ta có $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} u_{1} = 5 u_{2} = 6 u_{3} = 10 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 5 = a {.1}^{2} + b .1 + c 6 = a {.2}^{2} + b .2 + c 10 = a {.3}^{2} + b .3 + c \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = \frac{3}{2} b = - \frac{7}{2} c = 7 \end{matrix}$

Vậy số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là $u_{n} = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{7}{2} n + 7$ .