Với a > 0 và \(a \ne 1\), ta có:

- Hàm số \(y = {a^{f(x)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f(x)\) xác định.

- Hàm số \(y = {\log _a}f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow f(x) > 0\).

1) Tìm tập xác định của các hàm số dưới đây:

a) \(y = {\log _2}(2x - 3)\);

b) \(y = {7^{\sqrt {x - 3} }}\);

c) \(y = {\log _2}({x^2} - 9)\).

Giải:

a) Điều kiện \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\). Vậy tập xác định là \(D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

b) Điều kiện: \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\). Vậy tập xác định là \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).

c) Điều kiện \({x^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 3}\\{x <  - 3}\end{array}} \right.\). Vậy tập xác định là \(D = ( - \infty ; - 3) \cup (3; + \infty )\).

2) Tìm tập xác định của các hàm số dưới đây:

a) \(y = {\log _{2025}}(3 - x)\);

b) \(y = {\log _3}(2 - x)\);

c) \(y = \ln ( - {x^2} + 3)\).

Giải:

a) Điều kiện \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\). Vậy tập xác định \(D = ( - \infty ;3)\).

b) Điều kiện: \(2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2\). Vậy tập xác định \(D = ( - \infty ;2)\).

c) Điều kiện xác định: \( - {x^2} + 3 > 0 \Leftrightarrow  - \sqrt 3  < x < \sqrt 3 \). Vậy tập xác định \(D = ( - \sqrt 3 ;\sqrt 3 )\).

3) Tìm các giá trị thực của tham số $ m $ để các hàm số dưới đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

a) \(y = {e^{\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + mx + 1} }}}}\);

b) \(y = \log \left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\).

Giải:

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta  < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\).

b) Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {x^2} - 2x - m + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {( - 1)^2} - ( - m + 1) < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

4) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \([ - 2021;2021]\) để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2x - m + 2} \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\).

Giải:

Điều kiện: \({x^2} - 2x - m + 2 > 0\).

Hàm số có tập xác định \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 2 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ' = 1 + m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 1\).

Do m nguyên thuộc đoạn \([ - 2021;2021]\) nên có 2022 giá trị m thoả yêu cầu bài toán.