Từ phương trình chính tắc của parabol (P): $y^2=2px$ (p > 0), ta suy ra:

- Tham số tiêu: p.

- Tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$.

- Phương trình đường chuẩn: $x=-\frac{p}{2}$.

- Bán kính qua tiêu của điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là $MF=\left|x_0+\frac{p}{2}\right|$.

1) Cho parabol (P): $y^2=x$.

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Giải:

a) Ta có $2p=1$ nên $p=\frac{1}{2}$.

Parabol có tiêu điểm $F\left(\frac{1}{4};0\right)$ và đường chuẩn $\Delta :x=-\frac{1}{4}$.

b) Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi ${y_0}^2=x_0$ và MF = 3. Do $MF=d(M,\Delta )$ nên $d(M,\Delta )=3$.

Mặt khác $\Delta :x=-\frac{1}{4}$ và $x_0={y_0}^2\ge 0$ nên $3=d(M,\Delta )=\left|x_0+\frac{1}{4}\right|=x_0+\frac{1}{4}$.

Vậy $x_0=\frac{11}{4}$ và $y_0=\frac{\sqrt{11}}{2}$ hoặc $y_0=-\frac{\sqrt{11}}{2}$.

Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là $\left(\frac{11}{4};\frac{\sqrt{11}}{2}\right)$ và $\left(\frac{11}{4};-\frac{\sqrt{11}}{2}\right)$.

2) Cho parabol $y^2=6x$.

a) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.

b) Giả sử $M$ là điểm thuộc parabol có hoành độ là 4. Tính bán kính qua tiêu điểm $M$.

Giải:

a) Ta có: $2p=6$, suy ra $p=3$. Tiêu điểm của parabol là $F\left(\frac{3}{2};0\right)$. Đường chuẩn của parabol có phương trình là $x=-\frac{3}{2}$.

b) Bán kính qua tiêu của điểm $M$ là $MF=4+\frac{3}{2}=5,5$.

3) Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của parabol

$\left(P\right):y^2=4x$.

Giải:

Ta có $2p=4$, suy ra $p=2$. Vậy $\left(P\right)$ có tiêu điểm $F(1;0)$, đỉnh $O(0;0)$ đường chuẩn $\Delta :x=-1$ và nhận Ox làm trục đối xứng.

4) Tính bán kính qua tiêu của điểm $M(1;2)$ trên parabol $\left(P\right):y^2=4x$.

Giải:

Ta có $2p=4$, suy ra $p=2$. Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M(1;2)$ là:

$FM=x+\frac{p}{2}=1+\frac{2}{2}=2$.

5) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6;6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^2=2px(p>0)$.

Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6;6) $\Rightarrow$ $6^2=2p.6\Rightarrow p=3$.

Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là $x=-\frac{3}{2}$

7) Cho parabol có phương trình $y^2=4x$.

a) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.

b) Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 3.

Giải:

a) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta có $2p=4\iff p=2$.

Vậy parabol có tiêu điểm là $F(1;0)$ và đường chuẩn là $x=-1$.

b) Theo công thức bán kính qua tiêu ta có $MF=3+1=4$.