Cách tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Ba đường conic - Từ điển môn Toán 10

Cách tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip - Toán 10

Cách tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip

Nội dung chính

1. Phương pháp tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip

2. Ví dụ minh hoạ tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip

1. Phương pháp tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh: $A_{1} (- a; 0)$ , $A_{2} (a; 0)$ , $B_{1} (0; - b)$ , $B_{2} (0; b)$ .

+ Trục lớn: $A_{1} A_{2} = 2 a$ , trục nhỏ: $B_{1} B_{2} = 2 b$ .

+ Hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ ; $F_{2} (c; 0)$ với $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ .

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a} < 1$ .

+ Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: $x = \pm a$ ; $y = \pm b$ .

2. Ví dụ minh hoạ tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip

1) Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là?

Giải:

Ta có: ${\begin{cases} a^{2} = 9 \\ b^{2} = 4 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$

- Trục lớn: $A_{1} A_{2} = 2 a = 2.3 = 6$ .

- Trục nhỏ: $B_{1} B_{2} = 2 b = 2.2 = 4$ .

2) Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Khi đó toạ độ tiêu điểm của elip là?

Giải:

Ta có: ${\begin{cases} a^{2} = 16 \\ b^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$ .

Tiêu điểm là: $F_{1} (- \sqrt{7}; 0)$ , $F_{2} (\sqrt{7}; 0)$ .

3) Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ . Khi đó toạ độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là?

Giải:

Ta có: $a^{2} = 4 \Leftrightarrow a = 2$ .

Hai đỉnh trên trục lớn là: $A_{1} (- 2; 0)$ , $A_{2} (2; 0)$ .

4) Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . Khi đó toạ độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là?

Giải:

Ta có: $b^{2} = 4 \Leftrightarrow b = 2$ .

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: $B_{1} (0; - 2)$ và $B_{2} (0; 2)$ .

5) Đường Elip $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ có tiêu cự bằng?

Giải:

Ta có $a^{2} = 5$ ; $b^{2} = 4$ suy ra $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 1$ .

Tiêu cự bằng: $2 c = 2$ .

6) Cho Elip có phương trình: $9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$ . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng?

Giải:

Ta có $9 x^{2} + 25 y^{2} = 225 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \Rightarrow {\begin{cases} a^{2} = 25 \\ b^{2} = 9 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 5 \\ b = 3 \end{cases}$

Độ dài trục lớn (chiều dài hình chữ nhật cơ sở): $2 a = 10$ .

Độ dài trục nhỏ (chiều rộng hình chữ nhật cơ sở): $2 b = 6$ .

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: $(2 a) . (2 b) = 10.6 = 60$ .