Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).

Để ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} - {x_A} = {x_C} - {x_D}}\\{{y_B} - {y_A} = {y_C} - {y_D}}\\{{z_B} - {z_A} = {z_C} - {z_D}}\end{array}} \right.\).

Thay toạ độ ba điểm đã biết, ta tìm được toạ độ điểm còn lại.

Lưu ý: Ta có thể giải \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \).

1) Hình bình hành ABCD có A(1;0;3), B(2;3;-4), C(-3;1;2). Tìm toạ độ điểm D.

Giải:

\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1;3 - 0; - 4 - 3) = (1;3; - 7)\); \(\overrightarrow {DC} = ( - 3 - {x_D};1 - {y_D};2 - {z_D})\).

ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), hay \(( - 3 - {x_D};1 - {y_D};2 - {z_D}) = (1,3, - 7)\).

Giải hệ phương trình:

\( - 3 - {x_D} = 1 \Rightarrow {x_D} =  - 4\);

\(1 - {y_D} = 3 \Rightarrow {y_D} =  - 2\);

\(2 - {z_D} =  - 7 \Rightarrow {z_D} = 9\).

Vậy D(-4;-2;9).

2) Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), và D(1;-1;1). Toạ độ điểm C là (a;b;c). Tính tổng a + b + c.

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = (a - 1;b + 1c - 1)\) và \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 = 1}\\{b + 1 = 1}\\{c - 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 0}\\{c = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó a + b + c = 2 + 0 + 2 = 4.