Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

Nếu đề bài cho toạ độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)\) của tam giác ABC, điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và điểm \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), ta tìm được điểm \(C\left( {3{x_I} - {x_A} - {x_B};3{y_I} - {y_A} - {y_B};3{z_I} - {z_A} - {z_B}} \right)\).

1) Cho tam giác MNP có M(1;-2;1), N(-1;-2;3) và P(3;1;2). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải:

\(G\left( {\frac{{1 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3};\frac{{\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) + 1}}{3};\frac{{1 + 3 + 2}}{3}} \right) \Leftrightarrow G\left( {1; - 1;2} \right)\).

2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3;-5), B(2;1;4), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\). Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

Từ đó, ta có hệ phương trình:

\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B})\), \({y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B})\), \({z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).

Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:

\({x_C} = 3.2 - (1 + 2) = 3\), \({y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0\), \({z_C} = 3.\left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) =  - 3\).

Vậy toạ độ điểm C là C (3;0;-3).